Можно поставить в соответствие некоторое число , вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем .
Необходимость введения понятия определителя - числа , характеризующего квадратную матрицу порядка n , тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений .
Определитель матрицы А будем обозначать: |А | или D.
Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется элемент а 11 . Например, для А = (-4) имеем |А | = -4.
Определителем матрицы второго порядка называется число , определяемое по формуле
|А | = .
Например, |А
| = 
.
 |
 |
 |
||
Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю , и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали . С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.
Например,
Определение определителя матрицы n -го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.
В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n -го порядка будем говорить просто определитель n -го порядка . Введем новые понятия.
Пусть дана квадратная матрица n -го порядка.
Минором М ij элемента а ij матрицы А называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.
Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) i+j:
А ij = (-1) i + j М ij ,
т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца - нечетное число.
Например, для элементов а
11 и а
12 матрицы А =
миноры
М
11 = А
11 = 
,
М
12 = 
,
а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.
Теорема (о разложении определителя) . Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
|А
| = а
i1 A
i1 + а
i2 A
i2 + … + а
in A
in ,
для любого i
= 1, 2, …, n
|А | = а 1j A 1j + а 2j A 2j + … + а nj A nj ,
для любого j = 1, 2, …, n
Первая формула называется i -ой строки, а вторая - разложением определителя по элементам j -го столбца.
Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n -го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.
Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:
1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.
2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.
3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.
4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.
6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.
7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.
8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами - нахождение обратной матрицы.
Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.
Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица , т.е.
А ×А -1 = А -1 × А = Е.
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.
Ответ: СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть
СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,
.СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,
.СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,
СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,
.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.СВОЙСТВО 9. Определитель
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Определитель. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, - определитель равен нулю.Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).
5.вырожденная матрица. обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.
Ответ: Вы́рожденной, особой (сингулярной) матрицей называется квадратная матрица А, если её определитель (Δ) равен нулю. В противном случае матрица А называется невырожденной.
Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.
Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей равенствам:
Называется обратной. Матрицу называют обратимой, если для нее существует обратная, в противном случае - необратимой.
Из определения следует, что если обратная матрица существует, то она квадратная того же порядка, что и . Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы равен нулю , то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицы получаем противоречие
Так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае - невырожденной {неособой).
Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:
| (4.1) |
где - матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы .
Матрица называется присоединенной матрицей по отношению к матрице .
В самом деле, матрица существует при условии . Надо показать, что она обратная к , т.е. удовлетворяет двум условиям:
Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что . Поэтому
что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии матрица имеет обратную
Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы существует еще одна обратная матрица 
такая, что . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем 
. Отсюда , что противоречит предположению . Следовательно, обратная матрица единственная.
Замечания 4.1
1. Из определения следует, что матрицы и перестановочны.
2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:
3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.
4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).
Свойства обратной матрицы
Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:
Если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1-4.
Докажем свойство 2: если произведение невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то .
Действительно, определитель произведения матриц не равен нулю, так как
Следовательно, обратная матрица существует и единственна. Покажем по определению, что матрица является обратной по отношению к матрице . Действительно:
Из единственности обратной матрицы следует равенство . Второе свойство доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства.
Замечания 4.2
1. Для комплексной матрицы справедливо равенство, аналогичное свойству 3:
Где - операция сопряжения матриц.
2. Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степень матрицы. Для невырожденной матрицы и любого натурального числа определим 
.
6.системы линейных уравнений. Коэффициенты при неизвестных, свободных членах. Решение системы линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Система линейных однородных уравнений и её особенности.
Ответ: Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i - свободными членами. Подлежат нахождению числа x n .
Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме
Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;
Вектор-столбец из неизвестных x j .
Вектор-столбец из свободных членов b i .
Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов
Решением системы называется n значений неизвестных х 1 =c 1 , x 2 =c 2 , ..., x n =c n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда совместна, так как x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.
4.2. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Пусть дана произвольная система n линейных уравнений с n неизвестными
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теоремаКронекера-Капелли.
Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Примем ее без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Правило решения произвольной системы линейных уравнений
1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)≠r(A), то система несовместна.
2. Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r(напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
Пример 4.1.
4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
(4.1)
или в матричной форме А*Х=В.
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае D¹0
Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A -1, получим
A -1 *A*X=A -1 *B Поскольку. A -1 *A=E и Е*Х=Х, то
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способомрешения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
Отсюда следует, что
Но есть разложение определителя
по элементам первого столбца. Определитель D 1 получается из определителяD путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,
Аналогично:
где D2 получен из D путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов:
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
Пример 4.3.
4.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
Коэффициенты aii называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Опишем метод Гаусса подробнее.
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь - новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное х 2 из всех уравнений системы, кроме первого я второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают Если же появится уравнение вида 
то это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений, В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное x k через остальные неизвестные (x k+ 1,…,x n). Затем подставляем значение x k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x k-1 через (x k+ 1,…,x n). , затем находим x k-2 ,…,x 1. . Придавая свободным неизвестным (x k+ 1,…,x n). произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания:
1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим x n из предпоследнего уравнения x n-1 , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (x n-1 ,...,x 1).
2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a 11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a 11 ¹1).
Пример 4.4.
Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицейсистемы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Если положить, например, x 3 =0,x 4 =0, то найдем одно из частных решений этой системы x 1 =-1,x 2 =-3,x 3 =0,x 4 =0.
Пример 4.5.
Решить систему методом Гаусса:
Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
Полученная матрица соответствует системе
Осуществляя обратный ход, находим x 3 =1, x 2 =1,x 1 =1.
4.5 Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r Необходимость. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение: Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r Достаточность: Пусть r Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0. Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r Пример 4.6. Решить систему Положив x 3 =0,получаем одно частное решение: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Положив x 3 =1, получаем второе частное решение: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 и т д. — Отпустите синицу на верную смерть! Помню, класса до 8-го мне не нравилась алгебра. Вообще не нравилась. Бесила она меня. Потому что я там ничего не понимал. А затем всё изменилось, потому что я просёк одну фишку: В математике вообще (и алгебре в частности) всё строится на грамотной и последовательной системе определений. Знаешь определения, понимаешь их суть — разобраться в остальном не составит труда. Вот так и с темой сегодняшнего урока. Мы детально рассмотрим несколько смежных вопросов и определений, благодаря чему вы раз и навсегда разберётесь и с матрицами, и с определителями, и со всеми их свойствами. Определители — центральное понятие в алгебре матриц. Подобно формулам сокращённого умножения, они будут преследовать вас на протяжении всего курса высшей математики. Поэтому читаем, смотрим и разбираемся досконально.:) И начнём мы с самого сокровенного — а что такое матрица? И как правильно с ней работать. Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём. Одна из ключевых характеристик матрицы — это её размерность, т.е. количество строк и столбцов, из которых она состоит. Обычно говорят, что некая матрица $A$ имеет размер $\left[ m\times n \right]$, если в ней имеется $m$ строк и $n$ столбцов. Записывают это так: Или вот так: Бывают и другие обозначения — тут всё зависит от предпочтений лектора/ семинариста/ автора учебника. Но в любом случае со всеми этими $\left[ m\times n \right]$ и ${{a}_{ij}}$ возникает одна и та же проблема: Какой индекс за что отвечает? Сначала идёт номер строки, затем — столбца? Или наоборот? При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться. Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики: Введение системы координат на плоскости
Помните её? У неё есть начало координат (точка $O=\left(0;0 \right)$) оси $x$и $y$, а каждая точка на плоскости однозначно определяется по координатам: $A=\left(1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ и т.д. А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого. Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения: Теперь всякая клетка матрицы имеет однозначные координаты $x$ и $y$. Например запись ${{a}_{24}}$ означает, что мы обращаемся к элементу с координатами $x=2$ и $y=4$. Размеры матрицы тоже однозначно задаются парой чисел: Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь. Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:) Прежде всего хотел бы отметить, что определитель существует только для квадратных матриц вида $\left[ n\times n \right]$. Определитель — это число, которое cчитается по определённым правилам и является одной из характеристик этой матрицы (есть другие характеристики: ранг, собственные вектора, но об этом в других уроках). Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто: Определитель квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это объём $n$-мерного параллелепипеда, который образуется, если рассмотреть строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда. Например, определитель матрицы размера 2x2 — это просто площадь параллелограмма, а для матрицы 3x3 это уже объём 3-мерного параллелепипеда — того самого, который так бесит всех старшеклассников на уроках стереометрии. На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон: Задача. Найдите определители матриц: \[\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end{matrix} \right|\] Решение. Первые два определителя имеют размер 2x2. Значит, это просто площади параллелограммов. Начертим их и посчитаем площадь. Первый параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;0 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(0;3 \right)$: Очевидно, это не просто параллелограмм, а вполне себе прямоугольник. Его площадь равна Второй параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;-1 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(2;2 \right)$. Ну и что с того? Это тоже прямоугольник: Стороны этого прямоугольника (по сути — длины векторов) легко считаются по теореме Пифагора: \[\begin{align} & \left| {{v}_{1}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}; \\ & \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}; \\ & S=\left| {{v}_{1}} \right|\cdot \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4. \\\end{align}\] Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3x3. Придётся вспоминать стереометрию: Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда: где $S$ — площадь основания (в нашем случае это площадь параллелограмма на плоскости $OXY$), $h$ — высота, проведённая к этому основанию (по сути, $z$-координата вектора ${{v}_{3}}$). Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко: \[\begin{align} & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end{align}\] Вот и всё! Записываем ответы. Ответ: 3; 4; 24. Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем. Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами. И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1x1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем. Но тут есть важное замечание: В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём
», т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк. И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:) При всей красоте и наглядности геометрического подхода у него есть серьёзный недостаток: он ничего не говорит нам о том, как этот самый определитель считать. Поэтому сейчас мы разберём альтернативное определение — алгебраическое. Для этого нам потребуется краткая теоретическая подготовка, зато на выходе мы получим инструмент, позволяющий считать в матрицах что и как угодно. Правда, там появится новая проблема... но обо всём по порядку. Давайте выпишем в строчку числа от 1 до $n$. Получится что-то типа этого: Теперь (чисто по приколу) поменяем парочку чисел местами. Можно поменять соседние: А можно — не особо соседние: И знаете, что? А ничего! В алгебре эта хрень называется перестановкой. И у неё есть куча свойств. Определение. Перестановка длины $n$ — строка из $n$ различных чисел, записанных в любой последовательности. Обычно рассматриваются первые $n$ натуральных чисел (т.е. как раз числа 1, 2, ..., $n$), а затем их перемешивают для получения нужной перестановки. Обозначаются перестановки так же, как и векторы — просто буквой и последовательным перечислением своих элементов в скобках. Например: $p=\left(1;3;2 \right)$ или $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Буква может быть любой, но пусть будет $p$.:) Далее для простоты изложения будем работать с перестановками длины 5 — они уже достаточно серьёзны для наблюдения всяких подозрительных эффектов, но ещё не настолько суровы для неокрепшего мозга, как перестановки длины 6 и более. Вот примеры таких перестановок: \[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2;5;4 \right) \\ & {{p}_{3}}=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end{align}\] Естественно, перестановку длины $n$ можно рассматривать как функцию, которая определена на множестве $\left\{ 1;2;...;n \right\}$ и биективно отображает это множество на себя же. Возвращаясь к только что записанным перестановкам ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$, мы вполне законно можем написать: \[{{p}_{1}}\left(1 \right)=1;{{p}_{2}}\left(3 \right)=2;{{p}_{3}}\left(2 \right)=4;\] Количество различных перестановок длины $n$ всегда ограничено и равно $n!$ — это легко доказуемый факт из комбинаторики. Например, если мы захотим выписать все перестановки длины 5, то мы весьма заколебёмся, поскольку таких перестановок будет Одной из ключевых характеристик всякой перестановки является количество инверсий в ней. Определение. Инверсия в перестановке $p=\left({{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}} \right)$ — всякая пара $\left({{a}_{i}};{{a}_{j}} \right)$ такая, что $i \lt j$, но ${{a}_{i}} \gt {{a}_{j}}$. Проще говоря, инверсия — это когда большее число стоит левее меньшего (не обязательно соседнего). Мы будем обозначать через $N\left(p \right)$ количество инверсий в перестановке $p$, но будьте готовы встретиться и с другими обозначениями в разных учебниках и у разных авторов — единых стандартов тут нет. Тема инверсий весьма обширна, и ей будет посвящён отдельный урок. Сейчас же наша задача — просто научиться считать их в реальных задачах. Например, посчитаем количество инверсий в перестановке $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$: \[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right).\] Таким образом, $N\left(p \right)=5$. Как видите, ничего страшного в этом нет. Сразу скажу: дальше нас будет интересовать не столько само число $N\left(p \right)$, сколько его чётность/ нечётность. И тут мы плавно переходим к ключевому термину сегодняшнего урока. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$. Тогда: Определение. Определитель матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это алгебраическая сумма $n!$ слагаемых, составленных следующим образом. Каждое слагаемое — это произведение $n$ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (−1) в степени количество инверсий: \[\left| A \right|=\sum\limits_{n!}{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\] Принципиальным моментом при выборе множителей для каждого слагаемого в определителе является тот факт, что никакие два множителя не стоят в одной строчке или в одном столбце. Благодаря этому можно без ограничения общности считать, что индексы $i$ множителей ${{a}_{i;j}}$ «пробегают» значения 1, ..., $n$, а индексы $j$ являются некоторой перестановкой от первых: А когда есть перестановка $p$, мы легко посчитаем инверсии $N\left(p \right)$ — и очередное слагаемое определителя готово. Естественно, никто не запрещает поменять местами множители в каком-либо слагаемом (или во всех сразу — чего мелочиться-то?), и тогда первые индексы тоже будут представлять собой некоторую перестановку. Но в итоге ничего не поменяется: суммарное количество инверсий в индексах $i$ и $j$ сохраняет чётность при подобных извращениях, что вполне соответствует старому-доброму правилу: От перестановки множителей произведение чисел не меняется. Вот только не надо приплетать это правило к умножению матриц — в отличие от умножения чисел, оно не коммутативно. Но это я отвлёкся.:) Вообще-то можно рассмотреть и матрицу 1x1 — это будет одна клетка, и её определитель, как нетрудно догадаться, равен числу, записанному в этой клетке. Ничего интересного. Поэтому давайте рассмотрим квадратную матрицу размером 2x2: \[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right]\] Поскольку количество строк в ней $n=2$, то определитель будет содержать $n!=2!=1\cdot 2=2$ слагаемых. Выпишем их: \[\begin{align} & {{\left(-1 \right)}^{N\left(1;2 \right)}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{\left(-1 \right)}^{0}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{a}_{11}}{{a}_{22}}; \\ & {{\left(-1 \right)}^{N\left(2;1 \right)}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{\left(-1 \right)}^{1}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{a}_{12}}{{a}_{21}}. \\\end{align}\] Очевидно, что в перестановке $\left(1;2 \right)$, состоящей из двух элементов, нет инверсий, поэтому $N\left(1;2 \right)=0$. А вот в перестановке $\left(2;1 \right)$ одна инверсия имеется (собственно, 2 < 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$ Итого универсальная формула вычисления определителя для матрицы 2x2 выглядит так: \[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right|={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}\] Графически это можно представить как произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов на побочной: Рассмотрим пару примеров: \[\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|;\quad \left| \begin{matrix} 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end{matrix} \right|.\] Решение. Всё считается в одну строчку. Первая матрица: И вторая: Ответ: −3; −161. Впрочем, это было слишком просто. Давайте рассмотрим матрицы 3x3 — там уже интересно. Теперь рассмотрим квадратную матрицу размера 3x3: \[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right]\] При вычислении её определителя мы получим $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ слагаемых — ещё не слишком много для паники, но уже достаточно, чтобы начать искать какие-то закономерности. Для начала выпишем все перестановки из трёх элементов и посчитаем инверсии в каждой из них: \[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{1}} \right)=N\left(1;2;3 \right)=0; \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{2}} \right)=N\left(1;3;2 \right)=1; \\ & {{p}_{3}}=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{3}} \right)=N\left(2;1;3 \right)=1; \\ & {{p}_{4}}=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{4}} \right)=N\left(2;3;1 \right)=2; \\ & {{p}_{5}}=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{5}} \right)=N\left(3;1;2 \right)=2; \\ & {{p}_{6}}=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{6}} \right)=N\left(3;2;1 \right)=3. \\\end{align}\] Как и предполагалось, всего выписано 6 перестановок ${{p}_{1}}$, ... ${{p}_{6}}$ (естественно, можно было бы выписать их в другой последовательности — суть от этого не изменится), а количество инверсий в них меняется от 0 до 3. В общем, у нас будет три слагаемых с «плюсом» (там, где $N\left(p \right)$ — чётное) и ещё три с «минусом». А в целом определитель будет считаться по формуле: \[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right|=\begin{matrix} {{a}_{11}}{{a}_{22}}{{a}_{33}}+{{a}_{12}}{{a}_{23}}{{a}_{31}}+{{a}_{13}}{{a}_{21}}{{a}_{32}}- \\ -{{a}_{13}}{{a}_{22}}{{a}_{31}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}{{a}_{33}}-{{a}_{11}}{{a}_{23}}{{a}_{32}} \\\end{matrix}\] Вот только не надо сейчас садиться и яростно зубрить все эти индексы! Вместо непонятных цифр лучше запомните следующее мнемоническое правило: Правило треугольника. Для нахождения определителя матрицы 3x3 нужно сложить три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников со стороной, параллельной этой диагонали, а затем вычесть такие же три произведения, но на побочной диагонали. Схематически это выглядит так: Именно эти треугольники (или пентаграммы — кому как больше нравится) любят рисовать во всяких учебниках и методичках по алгебре. Впрочем, не будем о грустном. Давайте лучше посчитаем один такой определитель — для разминки перед настоящей жестью.:) Задача. Вычислите определитель: \[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end{matrix} \right|\] Решение. Работаем по правилу треугольников. Сначала посчитаем три слагаемых, составленных из элементов на главной диагонали и параллельно ей: \[\begin{align} & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end{align}\] Теперь разбираемся с побочной диагональю: \[\begin{align} & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end{align}\] Осталось лишь вычесть из первого числа второе — и мы получим ответ: Вот и всё! Тем не менее, определители матриц 3x3 — это ещё не вершина мастерства. Самое интересное ждёт нас дальше.:) Как мы знаем, с ростом размерности матрицы $n$ количество слагаемых в определителе составляет $n!$ и быстро растёт. Всё-таки факториал — это вам не хрен собачий довольно быстро растущая функция. Уже для матриц 4x4 считать определители напролом (т.е. через перестановки) становится как-то не оч. Про 5x5 и более вообще молчу. Поэтому к делу подключаются некоторые свойства определителя, но для их понимания нужна небольшая теоретическая подготовка. Готовы? Поехали! Пусть дана произвольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Заметьте: не обязательно квадратная. В отличие от определителей, миноры — это такие няшки, которые существуют не только в суровых квадратных матрицах. Выберем в этой матрице несколько (например, $k$) строк и столбцов, причём $1\le k\le m$ и $1\le k\le n$. Тогда: Определение. Минор порядка $k$ — определитель квадратной матрицы, возникающей на пересечении выбранных $k$ столбцов и строк. Также минором мы будем называть и саму эту новую матрицу. Обозначается такой минор ${{M}_{k}}$. Естественно, у одной матрицы может быть целая куча миноров порядка $k$. Вот пример минора порядка 2 для матрицы $\left[ 5\times 6 \right]$: Совершенно необязательно, чтобы выбранные строки и столбцы стояли рядом, как в рассмотренном примере. Главное, чтобы количество выбранных строк и столбцов было одинаковым (это и есть число $k$). Есть и другое определение. Возможно, кому-то оно больше придётся по душе: Определение. Пусть дана прямоугольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Если после вычеркивания в ней одного или нескольких столбцов и одной или нескольких строк образуется квадратная матрица размера $\left[ k\times k \right]$, то её определитель — это и есть минор ${{M}_{k}}$. Саму матрицу мы тоже иногда будем называть минором — это будет ясно из контекста. Как говорил мой кот, иногда лучше один раз навернуться с 11-го этажа есть корм, чем мяукать, сидя на балконе. Пример. Пусть дана матрица Выбирая строку 1 и столбец 2, получаем минор первого порядка: \[{{M}_{1}}=\left| 7 \right|=7\] Выбирая строки 2, 3 и столбцы 3, 4, получаем минор второго порядка: \[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end{matrix} \right|=5-18=-13\] А если выбрать все три строки, а также столбцы 1, 2, 4, будет минор третьего порядка: \[{{M}_{3}}=\left| \begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right|\] Читателю не составит труда найти и другие миноры порядков 1, 2 или 3. Поэтому идём дальше. «Ну ok, и что дают нам эти миньоны миноры?» — наверняка спросите вы. Сами по себе — ничего. Но в квадратных матрицах у каждого минора появляется «компаньон» — дополнительный минор, а также алгебраическое дополнение. И вместе эти два ушлёпка позволят нам щёлкать определители как орешки. Определение. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, в которой выбран минор ${{M}_{k}}$. Тогда дополнительный минор для минора ${{M}_{k}}$ — это кусок исходной матрицы $A$, который останется при вычёркивании всех строк и столбцов, задействованных при составлении минора ${{M}_{k}}$: Уточним один момент: дополнительный минор — это не просто «кусок матрицы», а определитель этого куска. Обозначаются дополнительные миноры с помощью «звёздочки»: $M_{k}^{*}$: где операция $A\nabla {{M}_{k}}$ буквально означает «вычеркнуть из $A$ строки и столбцы, входящие в ${{M}_{k}}$». Эта операция не является общепринятой в математике — я её сам только что придумал для красоты повествования.:) Дополнительные миноры редко используются сами по себе. Они являются частью более сложной конструкции — алгебраического дополнения. Определение. Алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ — это дополнительный минор $M_{k}^{*}$, умноженный на величину ${{\left(-1 \right)}^{S}}$, где $S$ — сумма номеров всех строк и столбцов, задействованных в исходном миноре ${{M}_{k}}$. Как правило, алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ обозначается через ${{A}_{k}}$. Поэтому: \[{{A}_{k}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{k}^{*}\] Сложно? На первый взгляд — да. Но это не точно. Потому что на самом деле всё легко. Рассмотрим пример: Пример. Дана матрица 4x4: Выберем минор второго порядка \[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end{matrix} \right|\] Капитан Очевидность как бы намекает нам, что при составлении этого минора были задействованы строки 1 и 4, а также столбцы 3 и 4. Вычёркиваем их — получим дополнительный минор: Осталось найти число $S$ и получить алгебраическое дополнение. Поскольку мы знаем номера задействованных строк (1 и 4) и столбцов (3 и 4), всё просто: \[\begin{align} & S=1+4+3+4=12; \\ & {{A}_{2}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{2}^{*}={{\left(-1 \right)}^{12}}\cdot \left(-4 \right)=-4\end{align}\] Ответ: ${{A}_{2}}=-4$ Вот и всё! По сути, всё различие между дополнительным минором и алгебраическим дополнением — только в минусе спереди, да и то не всегда. И вот мы пришли к тому, зачем, собственно, все эти миноры и алгебраические дополнения были нужны. Теорема Лапласа о разложении определителя. Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрано $k$ строк (столбцов), причём $1\le k\le n-1$. Тогда определитель этой матрицы равен сумме всех произведений миноров порядка $k$, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения: \[\left| A \right|=\sum{{{M}_{k}}\cdot {{A}_{k}}}\] Причём таких слагаемых будет ровно $C_{n}^{k}$. Ладно, ладно: про $C_{n}^{k}$ — это я уже понтуюсь, в оригинальной теореме Лапласа ничего такого не было. Но комбинаторику никто не отменял, и буквально беглый взгляд на условие позволит вам самостоятельно убедиться, что слагаемых будет именно столько.:) Мы не будем её доказывать, хоть это и не представляет особой трудности — все выкладки сводятся к старым-добрым перестановкам и чётности/ нечётности инверсий. Тем не менее, доказательство будет представлено в отдельном параграфе, а сегодня у нас сугубо практический урок. Поэтому переходим к частному случаю этой теоремы, когда миноры представляют собой отдельные клетки матрицы. То, о чём сейчас пойдёт речь — как раз и есть основной инструмент работы с определителями, ради которого затевались вся эта дичь с перестановками, минорами и алгебраическими дополнениями. Читайте и наслаждайтесь: Следствие из Теоремы Лапласа (разложение определителя по строке/столбцу). Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрана одна строка. Минорами в этой строке будут $n$ отдельных клеток: \[{{M}_{1}}={{a}_{ij}},\quad j=1,...,n\] Дополнительные миноры тоже легко считаются: просто берём исходную матрицу и вычёркиваем строку и столбец, содержащие ${{a}_{ij}}$. Назовём такие миноры $M_{ij}^{*}$. Для алгебраического дополнения ещё нужно число $S$, но в случае с минором порядка 1 это просто сумма «координат» клетки ${{a}_{ij}}$: И тогда исходный определитель можно расписать через ${{a}_{ij}}$ и $M_{ij}^{*}$ согласно теореме Лапласа: \[\left| A \right|=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}\cdot {{\left(-1 \right)}^{i+j}}\cdot {{M}_{ij}}}\] Это и есть формула разложения определителя по строке
. Но то же верно и для столбцов. Из этого следствия можно сразу сформулировать несколько выводов: Последний факт особенно важен. Например, вместо зверского определителя 4x4 теперь достаточно будет посчитать несколько определителей 3x3 — с ними мы уж как-нибудь справимся.:) Задача. Найдите определитель: \[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{matrix} \right|\] Решение. Разложим этот определитель по первой строке: \[\begin{align} \left| A \right|=1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 2\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 3\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end{matrix} \right|= & \\\end{align}\] \[\begin{align} & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end{align}\] Задача. Найдите определитель: \[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|\] Решение. Для разнообразия давайте в этот раз работать со столбцами. Например, в последнем столбце присутствуют сразу два нуля — очевидно, это значительно сократит вычисления. Сейчас увидите почему. Итак, раскладываем определитель по четвёртому столбцу: \[\begin{align} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=0\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right| & \\\end{align}\] И тут — о, чудо! — два слагаемых сразу улетают коту под хвост, поскольку в них есть множитель «0». Остаётся ещё два определителя 3x3, с которыми мы легко разберёмся: \[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end{align}\] Возвращаемся к исходнику и находим ответ: \[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\] Ну вот и всё. И никаких 4! = 24 слагаемых считать не пришлось.:) Ответ: −2 В последней задаче мы видели, как наличие нулей в строках (столбцах) матрицы резко упрощает разложение определителя и вообще все вычисления. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было? Ответ однозначен: можно
. И здесь нам на помощь приходят свойства определителя: Особую ценность представляет третье свойство: мы можем вычитать из одной строки (столбца) другую до тех пор, пока в нужных местах не появятся нули
. Чаще всего расчёты сводится к тому, чтобы «обнулить» весь столбец везде, кроме одного элемента, а затем разложить определитель по этому столбцу, получив матрицу размером на 1 меньше. Давайте посмотрим, как это работает на практике: Задача. Найдите определитель: \[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\] Решение. Нулей тут как бы вообще не наблюдается, поэтому можно «долбить» по любой строке или столбцу — объём вычислений будет примерно одинаковым. Давайте не будем мелочиться и «обнулим» первый столбец: в нём уже есть клетка с единицей, поэтому просто возьмём первую строчку и вычтем её 4 раза из второй, 3 раза из третьей и 2 раза из последней. В результате мы получим новую матрицу, но её определитель будет тем же: \[\begin{matrix} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end{matrix}= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\\end{matrix} \right|= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right| \\\end{matrix}\] Теперь с невозмутимостью Пятачка раскладываем этот определитель по первому столбцу: \[\begin{matrix} 1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+1}}\cdot \left| ... \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+1}}\cdot \left| ... \right| \\\end{matrix}\] Понятно, что «выживет» только первое слагаемое — в остальных я даже определители не выписывал, поскольку они всё равно умножаются на ноль. Коэффициент перед определителем равен единице, т.е. его можно не записывать. Зато можно вынести «минусы» из всех трёх строк определителя. По сути, мы трижды вынесли множитель (−1): \[\left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\] Получили мелкий определитель 3x3, который уже можно посчитать по правилу треугольников. Но мы попробуем разложить и его по первому столбцу — благо в последней строчке гордо стоит единица: \[\begin{align} & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\] Можно, конечно, ещё поприкалываться и разложить матрицу 2x2 по строке (столбцу), но мы же с вами адекватны, поэтому просто посчитаем ответ: \[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\] Вот так и разбиваются мечты. Всего-то −160 в ответе.:) Ответ: −160. Парочка замечаний перед тем, как мы перейдём к последней задаче: Задача. Найдите определитель: \[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|\] Решение. Ну, тут первая строка прямо-таки напрашивается на «обнуление». Берём первый столбец и вычитаем ровно один раз из всех остальных: \[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\] Раскладываем по первой строке, а затем выносим общие множители из оставшихся строк: \[\cdot \left| \begin{matrix} 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\] Снова наблюдаем «красивые» числа, но уже в первом столбце — раскладываем определитель по нему: \[\begin{align} & 240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}=240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end{align}\] Порядок. Задача решена. Ответ: 1440 1. Общее правило знаков. Для дальнейшего будет полезно узнавать, с каким знаком входит в определитель слагаемое , где - две перестановки чисел . Для того чтобы узнать это, следует расположить сомножители в порядке следования строк. Заметим, что если поменять местами два сомножителя, то происходит транспозиция как в первых, так и во вторых индексах, так что число инверсий в первых индексах и число инверсий во вторых индексах меняются на нечетные числа, и потому их сумма меняется на четное число. Поэтому не изменяется при перемене мест двух сомножителей, а следовательно, и при любом изменений порядка сомножителей, ибо любое изменение порядка равносильно нескольким попарным переменам мест. Отсюда следует, что знак, с которым входит слагаемое в определитель, есть . Действительно, пусть - последовательность номеров столбцов после приведения сомножителей в порядок следования строк, так что Тогда а это и есть множитель ±1, с которым интересующее нас слагаемое входит в состав определителя. 2. Определитель транспонированной матрицы равен исходной. Другими словами - определитель не меняется при транспонировании матрицы. Действительно, брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы - то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Далее, номера строк для исходной - это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое входит в состав определителя исходной матрицы и определителя транспонированной с одним и тем же множителем Установленные два свойства указывают, что в определителе строки и столбцы совершенно равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства, устанавливаемые для строк, остаются справедливыми и для столбцов. Следующие два свойства означают линейность определителя относительно элементов любой его строки. 3. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором - вторым. Это свойство становится прозрачнее, если от словесной формулировки перейти к формуле: Доказательство. Ясно, что первая сумма равна , а вторая равна Доказанное свойство естественным образом обобщается на случай, когда элементы строки представлены в виде суммы нескольких слагаемых. 4. Если все элементы какой-либо строки определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя. Действительно, 5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. 6. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель изменит знак на обратный. Эти два свойства тесно связаны и играют особо важную роль в теории определителей. Докажем сначала 5-е свойство, потом 6-е. Пусть дан определитель с двумя одинаковыми строками: Разобьем сумму на две части, соответствующие четным и нечетным перестановкам: Вспомним, что все нечетные перестановки получаются, если во всех четных перестановках сделать одну и ту же транспозицию Поэтому Но . Поэтому для каждого слагаемого первой суммы найдется равное ему слагаемое во второй, так что , что и требовалось доказать. Обратимся теперь к доказательству свойства, причем позволим себе обозначить переставляемые строки просто I и II. Нам нужно сравнить определители С этой целью рассмотрим вспомогательный определитель, заведомо равный нулю: Мы два раза воспользовались свойством 3. Первое и четвертое слагаемые равны нулю. Следовательно, сумма второго и третьего равна нулю, что и требовалось доказать. Рассмотрим другой путь доказательства свойств 5 и 6. Начнем с шестого. Пусть Возьмем какое-либо слагаемое из второго определителя, записанное в порядке следования его строк: Оно входит в состав с множителем . Но , так что в А оно входит с множителем . Ясно, что так что каждое слагаемое из А входит в А с противоположным знаком, т. е. Теперь для доказательства свойства 5 рассмотрим определитель с двумя одинаковыми строками и переменим местами эти строки. С одной стороны, он при этом изменит знак, но вместе с тем он не изменится. Следовательно, . Однако это рассуждение применимо, только если в кольце возможно деление на 2, так что из следует В поле вычетов по модулю 2 мы не могли бы сделать такого вывода. В этом состоит небольшой недостаток второго доказательства сравнительно с первым. 7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю. Действительно, если, согласно свойству 4, вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности, то остается определитель с равными строками, который равен нулю. 8. Определитель не меняется, если к какой-либо его строке добавить числа, пропорциональные другой строке. Действительно, Свойство 8 особенно важно, так как оно дает ключ к вычислению определителей. Рассмотрим небольшой пример. Пусть требуется вычислить определитель Прибавим ко второй строке первую, умноженную на -1, затем к третьей прибавим первую, умноженную на -1, и затем к четвертой прибавим первую, умноженную на -1. Получим равный определитель Теперь прибавим к четвертой строке третью, умноженную на -1, и к четвертой - вторую, умноженную на -1. Получим равный определитель Теперь оказывается, что из 24 слагаемых определителя отлично от нуля только одно: . Перестановка (1, 3, 2, 4) нечетная, следовательно, определитель равен -16. Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости. Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_{n\times n}=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{array} \right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум , и я коснусь данного вопроса детальнее. Обозначается определитель матрицы $A$ как $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Порядок определителя
равен количеству строк (столбцов) в нём. показать\скрыть Заменим в нём строки столбцами по принципу: "была первая строка - стал первый столбец", "была вторая строка - стал второй столбец": Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось. Пример применения этого свойства: показать\скрыть Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :
$$\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный. Пример применения этого свойства: показать\скрыть Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|=0$. Пример применения этого свойства: показать\скрыть Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|=0$. Пример применения этого свойства: показать\скрыть Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $r_3=-3\cdot{r_2}$, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|=0$. Пример применения этого свойства: показать\скрыть Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:
$$\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|$$
Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:
$$
\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|=
3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right|
$$ Пример применения этого свойства: показать\скрыть Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5\cdot{r_3}$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.
$$
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}=
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|=
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|.
$$ Пример применения этого свойства: показать\скрыть Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Выражение
$$
k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s,
$$
где $k_i\in R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Для примера рассмотрим такой определитель:
$$
\left| \begin{array} {cccc}
-1 & 2 & 3 & 0\\
-2 & -4 & -5 & 1\\
5 & 0 & 7 & 10 \\
-13 & -8 & -16 & -7
\end{array} \right|
$$
В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:
$$
r_4=2\cdot{r_1}+3\cdot{r_2}-r_3
$$
Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю. Пример применения этого свойства: показать\скрыть Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Запишем элементы второго столбца так: $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:
$$
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|=
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|=
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right|+
\left| \begin{array} {ccc} -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end{array} \right|
$$ Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:
\begin{equation}
\Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}
\end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
& \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|=
a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\
& -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}
\end{aligned} \end{equation}
Примеры применения формул (1) и (2) есть в теме "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей" . Определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:
\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in}
\end{equation}
Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:
\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj}
\end{equation}
Правила, выраженные формулами (3) и (4), подробно проиллюстрированы примерами и пояснены в теме Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу) . Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины"). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:
\begin{aligned}
&\left| \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{array} \right|=
2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\
&\left| \begin{array} {cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end{array} \right|=
-3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0.
\end{aligned}
Пусть её приласкает свобода!
И корабль плывёт, и реактор ревёт...
— Паш, ты упоролся?
Правильная расстановка индексов в матрице
Наложение системы координат на матрицу
Определение индексов в матрице
Геометрическое определение
Определитель 2x2 — это площадь параллелограмма
Ещё один определитель 2x2
Определитель 3x3 — это объём параллелепипеда
Алгебраическое определение
Перестановки и инверсии
Что такое определитель
Матрица 2x2
Определитель матрицы 2x2
Матрица 3x3
Определитель матрицы 3x3: правило треугольников
Общая схема вычисления определителей
Что такое минор матрицы
Выбор $k = 2$ столбцов и строк для формирования минора
Алгебраические дополнения
Дополнительный минор к минору ${{M}_{2}}$
Теорема Лапласа
Разложение определителя по строке и столбцу
Основные свойства определителя
Формулы для вычисления определителей
